Одна из важнейших математических закономерностей, геометрическая прогрессия, широко применяется в промышленности, архитектуре, машиностроении, экономике, IT, лабораторных исследования и прочее. Она используется в высшей математике. В статье вы найдете всю необходимую информацию, чтобы усвоить основы знаний о геометрической последовательности.
Что такое геометрическая прогрессия?
Возьмите лист бумаги и сложите его столько раз, сколько сможете. Какая получилась толщина бумаги после этого? И как это определить? Ответом будет геометрическая прогрессия. В ней последующее число в серии является двойным по сравнению с предыдущим числом.
Другими словами, когда 1 умножается на 2, получается 2. Когда 2 умножается на 2, получается 4. Точно так же, когда 4 умножается на 2, мы получаем 8 и так далее. Можно ли сказать, что соотношение двух следующих друг за другом членов геометрического ряда постоянно?
Таким образом, соотношение двух последовательных членов этой конкретной последовательности является фиксированным числом. Такая последовательность чисел называется геометрической прогрессией (ГП).
Кроме того, первый член не равен нулю, а каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на фиксированную величину. К примеру, рассмотрим последовательность 1, 2, 4, 8, 16, 32… . Здесь общее отношение r=2 – это знаменатель геометрической прогрессии.
Знание прогрессии и умение проводить необходимые вычисления чрезвычайно полезно в самых различных отраслях деятельности.
Например, в строительстве определение площади поперечного сечения колонн, равномерно удаленных друг от друга, являет собой геометрическую прогрессию.
По законам прогрессии установлена размерность станков и инструментов по резке металла. Вообще вычисления прогрессии становят математическую основу стандартизации промышленной продукции. С ее помощью можно вычислять проценты по банковским вкладам и многое другое.
Читайте также: Логарифмы: свойства и формулы
Арифметическая и геометрическая прогрессии: в чем разница?
Арифметическая прогрессия (АП) – это последовательность, в которой разница между двумя последовательными членами постоянна. В то время как геометрическая последовательность – такая, в которой соотношение между двумя последовательными членами постоянно.
В АП члены могут быть получены путем добавления или вычитания константы к предыдущему члену, при этом в случае ГП каждый член получается путем умножения или деления константы на предыдущий член.
В АП мы добавляем или вычитаем фиксированное ненулевое число бесконечное количество раз. В этом случае последовательность выглядит так: a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d = 5, 8, 11, 14, 17…
В АП изменение членов последовательности линейно. А в ГП изменение элементов последовательности экспоненциально.
Бесконечные АП расходятся, в то время как бесконечные геометрические прогрессии сходятся или расходятся, в зависимости от обстоятельств.
Читайте также: Лучшие университеты Центральной Азии
Формулы геометрической прогрессии
Прогрессия в формате математических переменных выглядит так:
Начнем с формулы для вычисления знаменателя. Из расположенного ниже рисунка мы видим, что разные виды прогрессии зависят от значения знаменателя.
Формулы n-го члена:
А вот формула для нахождения суммы n первых членов:
Характеристическое свойство этой последовательности (bn) выражается формулой:
Формула суммы геометрической прогрессии:
Рассмотрим несколько примеров.
Первый член ГП равен 27, а ее знаменатель – 1/3. Найдите шесть первых членов ГП.
ГП выглядит таким образом: 27; 9; 3; 1; 1/3; 1/9…
Следующий пример. Посчитайте 
Нам необходимо найти сумму ГП, первый член которой 
, знаменатель q=17, а количество членов n=20.
Но есть и сложные задачи с применением ГП. Чтобы школьник хорошо усвоил этот материал, необходимо решать по 10-20 заданий всех уровней сложности.
А лучше нанять профессионального репетитора, которой может просто и наглядно объяснить ребенку разные способы решений и показать, что математика – это нечто интересное и увлекательное. Используйте сайт BUKI для поиска квалифицированного преподавателя.
Онлайн-калькуляторы для вычисления геометрической прогрессии
Имея необходимые данные, можно без лишних усилий рассчитать ГП с помощью онлайн калькуляторов.
Вот перечень сайтов для быстрых вычислений:
-
Planetcalc – нахождение суммы по значениям. На сайте также есть формулы с объяснением. Это самый расширенный сайт для онлайн вычислений, который охватывает калькуляторы для различных потребностей из 38 сфер жизни и науки;
-
Allcalc – универсальный сайт калькуляторов, применимых для различных сфер деятельности, таких как, строительство, транспорт, быт, компьютерная техника и другое;
-
Math-solution – помимо типичных вычислений, этот калькулятор содержит теоретические ведомости о ГП;
-
Fxyz – на этом ресурсе вычисляется сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Здесь также можно найти множество других формул по алгебре, геометрии и физике.
-
Geleot – на сайте также есть часть теории и основные формулы;
-
Infofaq – кроме обычной суммы ГП, здесь можно искать члены ГП и сумму бесконечно убывающей прогрессии.
Если желаете, чтобы ваш ребенок научился быстрому счету в уме и не пользовался калькулятором, найдите для него профессионального педагога на BUKI.
