Студенты математических факультетов и школьники, которые при поступлении в вуз планируют сдавать экзамен по математике, должны знать и уметь использовать формулы теории вероятности.
Навык решения задач по теории вероятности помогает людям в повседневной жизни анализировать информацию, совершать взвешенные и обдуманные поступки. Узнать о теории вероятности можно из статьи, представленной ниже.
О теории вероятностей простыми словами
Люди всегда интересовались будущим и пытались его предугадать способами, которые не имели никакого отношения к науке. Теория вероятностей помогает понять, насколько вероятны определенные события.
Теория вероятностей – наука, которая занимается изучением закономерностей в наступлении различных событий.
Выпадение одной из сторон монеты – это событие, которое происходит случайно. В ходе подобного опыта может выпасть одна из двух сторон. Выпавшая сторона – это элементарный исход. При работе с задачами по теории вероятности нужно уметь находить общее количество исходов (в данном случае – 2) и количество исходов, благоприятствующих случайному событию (в этой ситуации – 1).
Вероятность события определяется отношением числа благоприятных исходов к общему количеству исходов. Если при бросании монетки человеку нужна решка, а всего сторон 2, то вероятность выбрасывания решки 0,5.
Важно помнить, что все случайные события при поиске вероятности должны быть равновозможными. Если нужно определить вероятность нахождения 1 миллиона долларов на улице, то нельзя утверждать, что эта вероятность равна 0,5, потому что случайные события «найти миллион» и «не найти миллион» не являются равновозможными.
Использование теории вероятности не ограничивается уроками математики в школах и лекциями по высшей математике в вузах. Предприниматели при запуске любого продукта на рынок проводят исследования, в которых рассчитывают вероятность успеха продаж и учитывают возможные риски.
Брокеры предсказывают колебания денежного курса, экономисты рассчитывают вероятность экономического кризиса, метеорологи предсказывают шторм и выражают возможность его наступления. Вероятность в своей работе используют биологи, химики, кораблестроители, историки.
Читайте также: Логарифмы: свойства и формулы
Теория вероятностей: основные понятия
Вероятность
Степень уверенность человека в наступлении события. Человек может быть наполовину уверен в выпадении решки на математической монетке, то есть вероятность равна 0,5.
Испытание
Опыт, который проводится многократно в одинаковых условиях для определения вероятности получения определенного исхода. Бросить игральный кубик – это испытание, а получение конкретного результата – исход.
Элементарный исход
Каждый результат какого-либо испытания.
Событие
При изучении теории вероятностей, нужно знать о разных типах событий.
- Случайными называют события, которые может случиться, а может и не случиться. Если посмотреть в окно, можно увидеть дождь или его не увидеть. Событие «дождь идет» – случайное: дождь может идти, а может и не идти. Вероятность такого события – это положительное число от нуля до единицы.
- Достоверные – это события, которые происходит при каждом испытании, то есть оно обязательно должно произойти и его вероятность равна единице. Игральная кость при подбрасывании падет на одну из граней – яркий пример достоверного события.
- Невозможные – это события, которые заведомо не могут произойти, то есть они не наступят никогда и их вероятность равна нулю. Например, на игральной кости не может выпасть 7 очков, а после лета не может наступить весна.
- Равновозможными называют события с одинаковыми возможностями для наступления. В карточной игре человеку могут выпасть как бубновый валет, так и бубновая дама.
- Зависимыми называют события, наступление одного из которых зависит от другого.
- Несовместимые – события, которые не могут произойти во время проведения одного опыта. Например, события «наступило утро» и «наступило ночь» не могут произойти одновременно. А на одном экзамене студент не может одновременно получить 5 и 2.
- Совместимыми называются два события, одно из которых своим наступлением не исключает наступление другого. Два человека могут одновременно бежать по улице, два студента могут опоздать на лекцию.
Читайте также: Математика онлайн – как организовать занятия по точным наукам через Skype
Теория вероятностей: формулы и примеры
Формула 1
Для наглядности нужно разобрать на примерах.
На конкурсе 250 участников рассаживают по трем кабинетам. В первых двух по 110 человек, остальные – в третьем кабинете. Какова вероятность того, что рандомный ученик писать конкурс в третьем кабинете
n=250, m=250-(110+110)=30
Для определения числа благоприятных исходов вычисляется, сколько мест в каждом кабинете. Если в двух первых вместе 220 мест, а всего 250 конкурсантов, то в третьем кабинете 30 мест (количество подходящих исходов).
В классе 26 детей, среди них двое братьев – Марк и Денис. Школьников случайным образом разбивают на две равных команды. Каков шанс, что Марк и Денис окажутся в одной команде?
В этой задаче не нужно находить вероятность двух событий. Достаточно определить вероятность того, что Денис попадет в ту же команду, в которую определили Марка. С учетом этого число благоприятных исходов будет 12, а общее количество исходов – 25, так как Марк уже попал в определенную команду.
Формула 2
Формула 3
P(A+B)=P(A)+P(B)
Формула позволяет найти вероятность того, что произойдет хоть бы одно из событий или общую вероятность наступления обоих событий.
Шанс того, что Денис сдаст экзамен на 70+ баллов равен 0,2. Вероятность того, что Кирилл сдаст экзамен на 70+ баллов – 0,3. Насколько вероятно, что Денис или Кирилл сдадут экзамен на 70+ баллов?
P(A+B)=0,2+0,3 = 0,5
Формула 4
P(AB)=P(A)xP(B)
Формула вероятности двух событий. В условии встречается союз «и», который указывает на то, что два события должны произойти одновременно.
Шанс, что Денис сдаст экзамен на оценку 70+ равен 0,2. Кирилл сдаст экзамен на оценку 70+ с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что Денис и Кирилл сдадут экзамен на оценку 70+?
P(AB)=0,2x0,3=0,06
Формула 5
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Вероятность двух событий, не зависящих друг от друга.
Мужчина приходит в супермаркет и хочет приобрести булочку и кефир. Вероятность того, что в супермаркете закончатся все булочки – 0,3. Вероятность отсутствия кефира в маркете – 0,4. Вероятность того, что закончились два необходимых продукта – 0,2.
Какова вероятность того, что мужчина придет в магазин и не сможет ничего купить?
P(A)+P(B)-P(AB)=0,3+0,4-0,2=0,5
